sexta-feira, 5 de fevereiro de 2010

APOLÔNIO DE PERGA

APOLÔNIO, DE PERGA

A Universidade de Alexandria teve seu nome ligado a muitos matemáticos e astrônomos de grande valor. Três deles, verdadeiros gigantes da Matemática, caracterizaram o período que, mais tarde, veio a ser chamado de a Idade de Ouro daquela escola: Euclides. Atquimedes e Apolônio.

Apolõnio nesceu em 262 a.C. na cidade de Perga, ao Sul da Anatólia, e provavelmente astudou em Alexandria, sendo certo que ali lecionou por algum tempo. Foi nessa fase que realizou seus melhores trabalhos, vindo a dquirir reputação tão elevada que, ainda em vida, já era conhecido como O Grande Geômetra. Embora pouco se saiba sobre ele, há informações de que passou alguns anos no importante centro científico de Pérgamo (a Oeste da Anatólia), cidade famosa pela invenção dos pergaminhos, muito utilizados como alternativa aos papiros, até a invenção do papel. Mais tarde retornou a Alexandria e ali morreo por volta de 190 a.C.

Apolônio foi também astrônomo e sebe-se que várias de suas obras foram perdidas, podendo-se apenas avaliar o conteúdo de algumas delas através de referências feitas posteriormente por outros. Além de alguns trabalhos de menor importância, preservados por tradutores árabes, sua obra-prima Cônicas, pela qual é mais lembrado, chegou até nós quase completa.Aquele volumoso tratadofoi composto de oito livros, contendo mais de 480 proposições rigorosamente demonstradas sobre a elipse, a hipérbole e a parábola. Sete de tais livros chegaram até nós, quatro em grego e três em árabe; um foi perdido mas, com base em indicações de Papus, que viveu mais de cinco séculos depois, o grande astrônomo inglês Edmond Halley (1656-1742) fez-lhe uma restauração parcial. Além desta obra, a única que chegou inteiramente até nós, escreveu ainda Dividir Segundo uma Razão. Das demais obras de Apolônio, hoje perdidas, conhecem-se os seguintes titulos: Cortar uma Área, Tangências, Lugares Planos, Determinar uma Secção, Inclinações, Cálculo Rápido e Comparação entre o Dodecaedro e o Icosaedro.

AS CÔNICAS

Estamos perante uma grandiosa e magnífica obra, considerada por muitos, como o ponto máximo da matemática grega. No prefácio geral da obra, Apolónio explica as razões que o levaram a escrevê-la:

"... levei a cabo a investigação deste assunto a pedido de Neucrates o geómetra, quando ele veio a Alexandria e ficou comigo, e, quando tinha trabalhado os oito livros, dei-lhos de imediato, apressadamente, porque ele estava de partida; não foi possível portanto revê-los. Escrevi tudo conforme me ia ocorrendo, adiando a revisão até ao fim."

(in, Thomas Heath, A History of Greek Mathematics, volume II, página 129).

Para se avaliar a excelência desta obra refira-se que não se descobriram propriedades novas das cónicas até ao século XIX, altura em que as elipses, parábolas e hipérboles começaram a ser estudadas na Geometria Projectiva.

Livro I

Apolónio começa por mostrar que, de um único cone, podem ser obtidas as três espécies de secções cónicas bastando para tal fazer variar a inclinação do plano.

A parábola é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um plano paralelo a sua geratriz.

A elipse é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um plano que não é paralelo a nenhuma das geratrizes.

A hipérbole é a curva que se obtém ao cortar uma superfície cónica com um plano paralelo as duas geratrizes.

Apolônio vai utilizar pela primeira vez os termos parábola, elipse e hipérbole para designar estas curvas. Nomes que foram adoptados dos pitagóricos para quem o termo elipse era usado quando um rectângulo de área dada era aplicado a um segmento que lhe faltava um quadrado; o termo hipérbole era usado quando a área excedia o segmento; o termo parábola era usado quando não havia excesso nem falta.

Apolônio mostrou que o cone não precisa de ser reto (pode ser oblíquo ou escaleno) e que um cone oblíquo tem, não só uma infinidade de secções circulares paralelas à base, mas também um conjunto infinito de secções circulares dadas a que chamou secções subcontrárias. Mostrou ainda que os pontos médios de um conjunto de cordas paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formam um segundo diâmetro, a que chamou diâmetros conjugados. A partir dos diâmetros conjugados, Apolónio mostrou que, se uma reta é traçada por uma extremidade de um diâmetro de uma elipse ou hipérbole paralelamente ao conjugado, a reta tocará a cônica e mais nenhuma reta pode cair entre ela e a cônica, isto é, a reta é tangente à cônica.

Segundo Boyer, no livro I, Apolónio "analisou as propriedades fundamentais das curvas mais completamente e com mais generalidade que os escritos de outros autores". (Carl Boyer, A History of Mathematics, página 165).

Livro II

Apolônio contínua o estudo dos diâmetros conjugados e tangentes. Apolônio também mostra como traçar tangentes a uma cônica usando a teoria da divisão harmônica.

Livro III

Como se pode ler no prefácio geral da obra, Apolônio tinha grande admiração pelo livro III:

"O terceiro livro contém muitos teoremas notáveis, úteis para a síntese de lugares sólidos e determinações de limites; a maior parte e mais bonitos desses teoremas são novos e, quando os descobri, observei que Euclides não tinha efectuado a síntese do lugar com relação a três ou quatro rectas, mas só uma parte causal dela e não bem-sucedida; pois a síntese não poderia ser completada sem minhas descobertas adicionais" (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 103).

Apolônio mostra aqui, por métodos sintéticos, teoremas que lhe permitem determinar o seguinte problema: Dadas três ou quatro retas de um plano, achar o lugar de um ponto P, que se move de modo que o quadrado da distância de P a uma das retas seja proporcional ao produto das distâncias das outras duas.

Como mostra Boyer, “poucos problemas tiveram papel tão importante na história da matemática quanto o do "lugar a três ou quatro retas"” (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 103).

Livro IV

Neste livro, Apolônio estudou o número de pontos em que uma secção de um cone pode intersectar uma curva. Vai dedicar-se sobretudo à intersecção com os ramos de uma hipérbole. Por exemplo, mostrou que se um ramo de uma hipérbole encontra os dois ramos de outra hipérbole o ramo oposto a primeira hipérbole não encontrará nenhum dos ramos da segunda em dois pontos, ou se uma hipérbole é tangente a um dos ramos de uma segunda hipérbole não encontrará o ramo oposto da segunda.

Os teoremas deste livro são todos originais e é sobre eles que Apolónio diz:

"Eles merecem aceitação pelas suas próprias demonstrações, assim como aceitamos muitas coisas na matemática por esta razão e nenhuma outra."(in, Elza Gomide, História da Matemática, página 104).

Livro V

Apolônio faz o estudo de tangentes e normais de uma curva e mostra, por procedimentos sintéticos, como se consegue obter as evolutas das cónicas.

Apolónio diz que efetuou este estudo porque "o assunto é um daqueles que parecem dignos de estudo por si mesmo". (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 104).

Livro VI

Este livro trata fundamentalmente da igualdade e semelhança de cônicas. Apolônio considera duas cônicas semelhantes quando as ordenadas traçadas à distância proporcional ao vértice forem proporcionais às abcissas correspondentes. Demonstra ainda que todas as parábolas são semelhantes e que uma parábola não pode ser semelhante a uma elipse ou hipérbole, nem uma elipse a uma hipérbole.

Livro VII

Apolônio retoma o estudo dos diâmetros conjugados, apresentando muitas proposições novas.

Livro VIII

Julga-se que este livro tivesse problemas semelhantes aos do livro VII, porque no prefácio do livro VII, Apolónio escreveu que "os teoremas do livro VII eram usados no livro VIII para resolver certos problemas sobre cónicas, de modo que o ultimo livro é uma espécie de apêndice" (in, Elza Gomide, História da Matemática, página 106).

Embora as secçoes cônicas tivessem sido criadas um século antes por Menecmo, tendo o próprio Euclides escrito um tratado sobre elas, a obra de Apolônio, por sua abrangência e excepicional qualidade, provocou abandono e o desaparecimento de tudo que fora escrito antes sobre o tema.

DIVIDIR SEGUNDO UMA RAZÃO

Todas as versões gregas de Dividir Segundo uma Razão se perderam. Porém, foi feita uma tradução arábe que está na base da tradução latina efetuada, em 1706, por Edmund Halley.

A obra é constituída por dois livros onde, fundamentalmente, Apolónio resolve o seguinte problema: Dadas duas retas e um ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma reta que corte sobre as retas dadas segmentos que estejam numa razão dada.

Este problema equivale a resolver uma equação quadrática do tipo

OBRAS PERDIDAS

Eis os titulos de parte das obras de Apolônio que foram perdidas, com seu provável assunto:

Cortar uma Área: Tratava o seguinte problema: Dadas duas rectas e um ponto em cada uma, traçar por um terceiro ponto dado uma recta que corte sobre as rectas dadas segmentos que contenham um rectângulo.

Tangências: Tratava o seguinte problema conhecido hoje como Problema de Apolónio: Dadas três coisas, cada uma das quais pode ser um ponto, uma recta ou um círculo, traçar um círculo que é tangente a cada uma das três coisas.

Inclinações: Tratava os problemas das inclinações que podiam ser resolvidos usando régua e compasso.

Lugares Planos: Estudava condições que conduzem a rectas e círculos como lugares geométricos.

Secção Determinada: Tratava o seguinte problema: Dados quatro pontos A, B, C e D sobre uma recta, determinar um quinto ponto P sobre ela, tal que o rectângulo sobre AP e CP esteja numa razão dada com o rectângulo sobre BP e DP.

Cálculo Rápido: Tratava processos rápidos de calcular.

Comparação entre o Dodecaedro e o Icosaedro: Demonstrava o seguinte teorema: As faces pentagonais planas de um dodecaedro estão à mesma distância do centro da esfera circunscrita que as faces triangulares de um icosaedro inscrito na mesma esfera.

BIBLIOGRAFIA

Garbi, Gilberto G. A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. Editora Livraria da Fisica.

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/apolonio/index.htm

http://www.grupoescolar.com/materia/apolonio_de_perga.html

http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/ApoloniP.html

http://pt.wikipedia.org/wiki/Apol%C3%B4nio_de_P%C3%A9rgamo



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