ARQUIMEDES DE SIRACUSA

Arquimedes

Arquimedes foi um dos mais importantes cientista e matemático de todos os tempos, se destaca também na área da física e é autor de várias invenções que facilitavam a vida do povo de sua cidade, além de instrumentos bélicos idealizado por ele que era usado na proteção de Siracusa em época de guerra. Seus feitos são tão admiráveis que o credenciam a integrar o seleto rol dos três maiores matemáticos de todos os tempos, junto a Isaac Newton (1642-1727) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Muito do que se sabe de Arquimedes se deve ao historiador Plutarco, de Queronéia (46 d.C. – 120 d.C.). Surpreendem nele sua capacidade, abrangência dos temas de seu interesse, a originalidade de suas idéias e a profundidade, a clareza e o rigor de seus raciocínios, seus pensamentos tiveram uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna, tendo influenciado, entre outros, Galileu Galilei e Isaac Newton.

Biografia

A maioria dos detalhes da vida de Arquimedes são desconhecidos. Sabe-se que nasceu em Siracusa, na época uma cidade-estado da Magna Grécia cerca de 287 a.C. Seu pai foi um astrônomo chamado Fídias, do qual nada se conhece. Quando jovem, estudou em Alexandria, o centro do saber da época, com Cônon, um dos discípulos de Euclides. Embora na Antiguidade não houvesse clara distinção entre matemáticos (geômetras), físicos (cientistas naturais) e filósofos, Arquimedes destacou-se ao longo da sua vida principalmente como inventor e matemático.

Arquimedes morre aos 75 anos (212 a. C.) após a tomada de Siracusa, durante a Segunda Guerra Púnica. Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes “era por vezes levado à força para banhar-se ou passar óleo no corpo. Ele costumava traçar figuras geométricas nas cinzas do fogo, e diagramas no óleo de seu corpo, estando em um estado de preocupação total e de possessão divina, no sentido mais verdadeiro, por seu amor e deleite pela ciência”. Foi morto por engano por um soldado romano, apesar dos soldados terem ordens explícitas para defendê-lo, já que os romanos tinham uma enorme admiração por ele. O fato é narrado de diferentes maneiras, segundo Plutarco, quando os soldados romanos invadiram a praia de Siracusa, encontraram um velho senhor - o próprio Arquimedes - desenhando círculos na areia. Sem imaginar que esse era o gênio responsável pela criação das poderosas armas sicilianas, assassinaram-no quando ele se negou a obedecer a suas ordens, porque não queria ver perturbado o raciocínio que seguia nesse momento. De acordo com o seu desejo, a sua sepultura foi decorada com o desenho que representa uma esfera inscrita num cilindro circular reto cuja altura é igual ao seu diâmetro.

Pensamentos de Arquimedes

A Matemática: Arquimedes acreditava que nada do que existe é tão grande que não possa ser medido, fez surgir assim a idéia de infinitamente grande ao querer contar os grãos de areia da praia de Siracusa. Esta idéia surge também numa de suas obras, o Arenário, onde se propõe avaliar o número de grãos de areia (daí o nome da obra) que seria preciso para encher uma esfera grande como o universo. Para resolver este problema ele usou como base os conhecimentos astronômicos de Aristarco de Samos (primeiro grande astrônomo da escola de Alexandria, é com 17 séculos de avanço, o percussor de Copérnico). Nesse sistema, a Terra roda em torno de si mesma descrevendo uma órbita circular à volta do Sol. Arquimedes idealizou um novo sistema de numeração que permite escrever ou enumerar números tão grandes quanto quiser. Esse sistema consistia em escrever os números em óctuplos ou potência de 8 na base 10, que constituem uma das leis de operação com logaritmos.

Em geometria, o sábio teve o mérito de conceber métodos para calcular as áreas de figuras sólidas delimitadas por superfícies curvas. Ele tinha, portanto, um sistema de cálculo integral dois mil anos antes de Newton e Leibniz. Mas, Arquimedes não antecipa apenas o cálculo integral. Ele pode ser também considerado como percussor do cálculo diferencial. Na verdade, uma das suas mais conhecidas e importantes descobertas matemáticas é a construção da famosa Espiral de Arquimedes.

Sem ter, obviamente, qualquer conhecimento da expressão da função que descreve essa curva, Arquimedes conseguiu resolver o problema do traçado da tangente num ponto dessa espiral.

Descobriu ainda um método para calcular o prodigioso número que estabelece a ligação entre a circunferência e seu diâmetro, hoje, conhecido como pigrego (π), fixando o seu valor entre (em decimais 3,1418...em média). Um fato admirável, num dos grandes momentos da História da Matemática. Apenas a guisa de ilustração, o símbolo π não foi usado na antiguidade grega no sentido atual. A introdução do símbolo só aconteceu em 1706, por William Jones, e popularizado por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. A letra π é a inicial da palavra grega περιφερεια que significa circunferência (perímetro).

No seu tratado sobre a Esfera e o Cilindro, Arquimedes demonstrou que a área da Esfera é igual a 4 vezes a área de seu Circulo máximo. Conhecida a área da Esfera, ele provou que o volume da qualquer esfera é igual a 4 vezes o volume do cone que tem como altura o raio da mesma e como base seu circulo máximo. Ainda nesse tratado, Arquimedes fez uma elegante síntese de seus estudos sobre aqueles sólidos. Inscrevendo uma esfera eu um cilindro equilátero ele mostrou que a área total e o volume do cilindro são, respectivamente, 3/2 da área e do volume da esfera, formulando o seguinte teorema: “O Cilindro é uma vez e meia a Esfera, em área e volume”.Arquimedes considerava essa sua mais bela descoberta, tanto que pediu que, quando morresse, fossem gravados sobre seu túmulo um Cilindro e uma Esfera nela inscrita, acompanhada da relação que os une.(figura 1)

Neste ponto, é interessante relatar um episódio ímpar dentro da História da Matemática. Na segunda metade do século XIX, um dinamarquês de vasta cultura, chamado Johan Ludvig Heiberg, decidiu publicar estudos profundos e abrangentes sobre a matemática grega, em especial as obras de Euclides e Arquimedes. Vários anos de sua vida foram gastos em pacientes pesquisas em bibliotecas espalhadas pela Europa e pelo Oriente Próximo. Certo dia, em 1906, pesquisando na biblioteca de um monastério em Istambul (a antiga Constantinopla), ele deparou-se com um pergaminho sobre o qual havia sido escrito um texto cristão. Ele percebeu, entretanto, que um texto anterior havia sido apagado para que o mais novo fosse escrito.Tentando descobrir o conteúdo do que fora apagado, Heiberg maravilhou-se ao ver que se tratava de uma obra perdida de Arquimedes, hoje conhecida como O Método, ali copiada por um monge no século X. A obra começa com uma carta de Arquimedes a seu amigo Eratóstenes, da Universidade de Alexandria, e explica o método que utilizava para descobrir certos teoremas, como o do volume da Esfera. Para surpresa geral, sua abordagem a certas questões geométrica utilizava o conceito físico (da Estática) de equilíbrio de pesos suspensos sobre barras para descobrir resultados que, depois, demonstrava com rigor matemático por dupla redução ao absurdo.

Em uma de suas obras, intitulada O Problema dos Bois, Arquimedes descreve um problema relacionado com o número de cabeças de gado do Deus Sol grego Hélio. Em termos simplificados o problema é dividido duas partes. A primeira é basicamente a seguinte:

“O Deus Sol Hélio tinha bois e vacas a pastar. O gado estava dividido em quatro partes: a primeira era Branca, a segunda Preta, a terceira era Malhada e a quarta Castanha e cada parte tinha bois e vacas. Entre os bois, o número de bois brancos era um meio mais um terço dos bois pretos mais o de castanhos; o número de bois pretos era um quarto mais um quinto dos bois malhados mais o de castanhos; o número de bois malhados era um sexto mais um sétimo do de bois brancos mais o de castanhos. Entre as vacas, o número de vacas Brancas era um terço mais um quarto do total de animais pretos; o número de vacas Pretas era um quarto mais um quinto do total de animais malhados; o número de vacas Malhadas era um quinto mais um sexto do total de animais castanhos; o número de vacas Castanhas era um sexto mais um sétimo do total de animais brancos. Quantos animais existiam ao todo de cada tipo?”

Mas Arquimedes refere ainda como continuação do problema, que:

“Quando os bois brancos se juntam aos pretos, podem formar um quadrado com tantos animais de comprimento como de largura. E quando os bois malhados se juntam aos castanhos, podem formar um triângulo, em que a primeira fila tem um animal, a segunda tem dois animais, e assim sucessivamente, cada fila com um animal a mais que a anterior.”

A dificuldade é tal que a primeira solução (ainda que incompleta) só surgiu em 1880, pela mãos de Amthor, que conseguiu mostrar que o número total de animais da solução tem 206 545 dígitos e conseguiu calcular alguns desses dígitos. Apenas com o advento dos computadores foi possível a Williams, German e Zarnke, em 1965, encontrar uma solução. O menor número de animais no gado de Hélio foi publicado por Harry Nelson em 1981, usando um supercomputador. Mas uma solução geral para o problema foi encontrada em 2001 usando meios de cálculo mais modestos do que um supercomputador.

A Física: Arquimedes foi o primeiro homem da História a aplicar eficazmente a Matemática à Física, nos campos da Estática, da Mecânica, da Hidrostática e, muito provavelmente da Óptica, razão pela qual ele é considerado o Pai da Fisica-Matemática.

Um dos princípios fundamentais da Hidrostática, também conhecido como o Principio de Arquimedes, é assim enunciado: “Todo corpo mergulhado em um fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado”. Uma estória bastante conhecida a respeito desse principio é contada da seguinte maneira:

“Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais.Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios pata provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios.Um dia em que Arquimedes, preocupado com esse assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que a medida que entrava na banheira,a água transbordava da mesma. Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para casa, gritava: Heureka! Heureka!, isto é, “encontrei! encontrei!”.

O autor mais antigo conhecido a descrever essa história foi Marcus Vitruvius Pollio, um arquiteto romano do século I a.C., em sua obra De Architetura. Vitruvius não viveu na época de Arquimedes e sim dois séculos depois, portanto as suas palavras não constituem relato de primeira mão, e não se sabe em que tipo de fonte ele se baseou. O método atribuído por ele a Arquimedes não seria, no entanto, adequado, por causa dos erros introduzidos pela tensão superficial do líquido.

Muitos autores antigos perceberam as dificuldades de se utilizar tal método. Um deles foi Galileu Galilei, que comentou sobre isso em um pequeno trabalho chamado La bilancetta ("A balancinha"). Galileu suspeitava que Arquimedes teria utilizado outro método, empregando pesagens (balança hidrostática) e não medidas de líquido derramado. Em 1891, o francês Marcellin Berthelot encontrou um texto do início da era cristã que confirmava a conjectura de Galileu, pois atribuía a Arquimedes esse segundo método. Os argumentos e documentos estudados por Berthelot reforçam a idéia de que Arquimedes teria utilizado um método de pesagens no ar e na água e não o método de derramamento de água descrito por Vitruvius.

O primeiro tratado de Estática da História da Humanidade foi escrito por Arquimedes. Nele se encontram os princípios fundamentais relativos ao Centro de Gravidade e à Alavanca. O geômetra Papus, de Alexandria, conta em uma de suas obras que nosso gênio gostava de afirmar: “Dêem-me um ponto de apoio e moverei o mundo”. No século XVIII, Adam Ferguson, filósofo escocês da escola do senso comum, tendo como base a afirmação de Arquimedes, calculou o tempo que um homem levaria para produzir o deslocamento de uma polegada no planeta Terra com o auxílio de uma alavanca. O resultado foi de 44 963 540 000 000 anos.

Arquimedes se destacou também como inventor, é ele o autor da Polia Composta, por meio da qual uma força menor pode ser multiplicada (ás custas da redução da velocidade de deslocamento) de modo a superar outra maior ele inventou, também um Parafuso Helicoidal (Parafuso de Arquimedes) que, girando dentro de um tubo cuja extremidade inferior seja mantida submersa, serve para transportar água a níveis mais altos, para irrigação e outros fins. Foi grande, também, a quantidade de artefatos militares que ele concebeu e produziu para defesa de sua cidade. Na segunda Guerra Púnica, contra o poderoso exército e marinha romanos, comandados pelo Cônsul Marco Cláudio Marcelo, Arquimedes teria criado aparatos, como: Catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas (durante quase três anos, as máquinas de guerra de sua invenção que lançavam dardos e pedras de até 150 quilogramas teriam sido as principais responsáveis pelas derrotas impostas pelos gregos ao exército de Marcelo, general romano que sitiava Siracusa).Um enorme jogo de espelhos côncavos: formados pelos escudos de bronze dos soldados gregos, após polimento, que direcionavam a luz do Sol para um mesmo ponto de um navio por vez, afim de incendiá-lo. Não há comprovações históricas de que esse fato realmente ocorreu. Tentativas de repetir este feito foram feitas mas produziram resultados inconclusivos. No programa "Caçadores de Mitos", estudantes do Massachusetts Institute of Technology conseguiram um princípio de incêndio em uma embarcação desde que ela ficasse estacionada por dez minutos no mesmo local. Gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos, afundando-os pela popa.

Plutarco conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas, que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diabólica de Arquimedes.Vamos dar a palavra a Plutarco:

"Os Romanos subiam de assalto por dois caminhos; a consternação e o silêncio reinavam em Siracusa, pelo receio que estavam de nada poderem opor a uma tão terrível força e a tão grandes esforços. Mas, assim que Arquimedes começou a manobrar as suas máquinas, elas lançaram contra a infantaria toda a espécie de flechas e de pedras de um peso enorme, que voaram com tanto ruído, força e rapidez, que nada podendo deter o choque derrubavam e esmagavam quantos encontravam, e lançavam uma desordem incrível nas fileiras. E, para o lado do mar, viam-se nas muralhas grandes máquinas que avançavam e abatiam de repente sobre as galeras, enormes barrotes, de onde pendiam antenas armadas de ganchos que as engatam e, elevando-as em seguida com a força do contra-peso, as largavam de repente e as afundavam; ou depois de as terem levantado pela proa com mãos de ferro, as mergulhavam no mar, ou as traziam para terra com cordames e croques, e, depois de as ter feito piruetar por muito tempo, despedaçavam-nas contra as cristas dos rochedos que se erguiam abaixo das muralhas, esmagando assim os que estavam por baixo." (cit. in Serres (1989):133).

Arquimedes toda a vida se colocou perante problemas novos e nunca deixou de criar métodos para resolver. Citando Pierre Rousseau (1945:53): “Concordemos que se, como dizia Weierstrass, um matemático, para ser completo, deve ser um pouco poeta, Arquimedes, o Homero da Geometria, foi um dos mais acabados que jamais existiram.”

Nunca em toda a História, um matemático esteve tantos séculos á frente de seu tempo e é pouco provável que isso venha a se repetir, mesmo no mais longínquo futuro. Enfim, são tantos os feitos, que Leibniz se faz apropriado: “Quem entende Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres de épocas posteriores.”

OBRAS

Eis uma breve nota a respeito de cada uma das Obras de Arquimedes:

1. Da esfera e do cilindro (Livros I e II). - É um dos mais belos escritos de Arquimedes. Entre os seus resultados, conte-se o cálculo da área lateral do cone e do cilindro.

2. Dos conóides e dos esferóides. - É a respeito dos sólidos que hoje designamos por elipsóide de revolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução.

3. Das espirais. - É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência.

4. Da medida do círculo. - Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Arquimedes. Com uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exacta e a aproximada, a aritmética e a geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direcção o clássico problema da quadratura do círculo.

5. Quadratura da Parábola. - Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola.

6. O Arenário. - Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades enormes, e uma série de considerações astronómicas de grande importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade, devido a Aristarco de Samos.

7. Do equilíbrio dos planos. - É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados.

8. Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). - Esta obra contém as bases científicas da hidrostática.

9. Do método relativo aos teoremas mecânicos. - Arquimedes aproxima-se extraordinariamente dos nossos conceitos actuais de cálculo integral.

10. O Stomachion. - É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série de peças poligonais que completam um rectângulo.

11. O problema dos bois. - É um problema de teoria dos números, que envolve oito incógnitas inteiras relacionadas por sete equações lineares e sujeitas ainda a duas condições adicionais a saber que a soma de certo par de incógnitas um quadrado perfeito e que a soma de outro par determinado de incógnitas é um número triangular. Sem as condições adicionais, os menores valores das incógnitas são números da ordem de milhões; com essas condições, uma das incógnitas deve ser um número com mais que 206 500 dígitos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Garbi, Gilberto G. A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. Editora Livraria da Fisica.

http://www.arquimedes.com.br/

http://pt.wikipedia.org/wiki/Arquimedes

http://www.ime.unicamp.br/~calculo/history/arquimedes/arquimedes.html

http://www.pensador.info/autor/Arquimedes/biografia/

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/arquimedes/index.htm